Náhodná veličina

Náhodná veličina

Definice diskrétní náhodné veličiny

Definice. Uvažujme diskrétní pravděpodobnostní model \((S,{\cal A},P)\), kde \(S\) je konečná množina, \({\cal A}\) je sigma-algebrou všech podmnožin množiny \(S\). Potom jakoukoli funkci \(X: S\to\mathbb R\) nazveme diskrétní resp. jednoduchou náhodnou proměnnou resp. veličinou. Náhodné veličiny budeme často značit velkými písmeny \(X,Y,\ldots\)

Poznámka. Z podstaty věci je zřejmé, že obor hodnot jednoduché diskrétní veličiny je konečná množina. Později bude tento koncept zobecněn i pro případ obecného pravděpodobnostního prostoru, kde obor hodnot náhodné veličiny může být nekonečnou množinou ať už spočetnou (diskrétní případ) a nebo nespočetnou (spojitý případ).

Příklad. Uvažujme pravděpodobnostní model náhodného pokusu dvojnásobného hodu mincí se základním prostorem \(S = \{PP, PO, OP, OO\}\). Nyní definujme náhodnou proměnnou pomcí tabulky:

Příklad. Uvažujme pravděpodobnostní prostor \((S,{\cal A}, P)\) a nechť \(A\in{\cal A}\). Potom položme pro každé \(e\in S\): \[ I_A(e)= \begin{cases} 1,\ \ \ e\in A\\ 0,\ \ \ e\notin A. \end{cases} \]

Distibuční funkce

Definice distribuční funkce

Mějme jistý pravděpodobnostní prostor \((S,{\cal A}, P)\), uvažujme jistou náhodnou proměnnou \(X\) a předpokládejme, že \(T = \{x_1,\ldots,x_n\}\) je množina funkčních hodnot této náhodné proměnné. Dále nechť \({\cal T}\) označuje sigma-algebru všech podmnožin množiny \(T\) a nechť \(B\in{\cal T}\). Nyní můžeme množinu \(B\) chápat jako náhodný jev pokud je jako základní prostor uvažována množina funkčních hodnot \(T\). Na prostoru \((T,{\cal T})\) lze uvažovat pravděpodobnostní míru \(P_X(\cdot)\) odvozenou od náhodné proměnné \(X\) a definovanou předpisem \[ P_X(B) = P(\{e:X(e)\in B\}),\ \ \ B\in{\cal T}. \] Funkce \(P_X(\cdot)\) je úplně charakterizována pomocí znalosti pravděpodobností: \[ P_X(x_i) = P(\{X = x_i\}) = P(\{e:X(e) = x_i\}). \] Množinu čísel \(\{P_X(x_1), \ldots, P_X(x_n)\}\) budeme nazývat pravděpodobnostní rozložení náhodné veličiny \(X\).

Definice. Uvažujme jako výše náhodnou veličinu \(X\) a nechť \(x\in\mathbb R\). Potom položme: \[ F_X(x) = P(\{e:\ X(e) \le x \}). \] Potom funkci \(F_X: \mathbb R\to\mathbb R\) budeme nazývat distribuční funkcí náhodné veličiny \(X\).
Poznámka. Rozmysleme si, že platí: \[ F_X(x) = \sum_{\{i:\ x_i\le x\}} P_X(x_i). \] Podívejme se na příklady.

Je možné pak dokázat, že \[ P_X(x_i) = F_X(x_i) - F_X(x_i-), \] kde \(F_X(x-) = \lim_{y\to x-}F_X(y)\).

Pokud položíme \(F_X(x_0) = 0,\) potom pokud budeme předpokládat, že \(x_1 < x_2 < \cdots < x_m\), pak máme \[ P_X(x_i) = F_X(x_i) - F_X(x_{i-1}),\ \ \ i = 1,\ldots,m. \]

Věta. Distribuční funkce \(F_X\) má následující vlastnosti:

1. \(F_X(-\infty) = 0,\ F_X(+\infty) = 1;\)
2. \(F_X(x)\) je spojitou funkcí zprava (\(F_X(x+) = F_X(x))\) a je po částech konstantní funkcí.

Příklad. Náhodná veličina \(X\), která nabývá hodnoty 1 a 0 s pravděpodobností \(p\) a \(q\) nazýváme Berrnoulliho náhodnou veličinou. Zřejmě pak platí: \[ P_X(x) = p^xq^{1-x}, \ \ \ x = 0,1. \] Náhodnou veličinou s binomickým rozdělením pravděpodobností pak rozumíme náhodnou veličinu \(X\) nabývající \(n+1\) funkčních hodnot \(0,1,\ldots,n\) s pravděpodobnostmi \[ P_X(x) = {n\choose x} p^xq^{n-x},\ \ \ x = 0,1,\ldots,n. \]

Vektorová náhodná veličina

Pojem vektorové náhodné veličiny

Vektorovou náhodnou veličinou rozumíme veličinu \(X = (X_1,\ldots,X_r)\) jejíž komponenety \(X_i\) jsou náhodnými veličinami. Množinu pravděpodobností \[ P_X(x_1,\ldots,x_r) = P(\{e: X_1(e) = x_1,\ldots,X_r(e) = x_r \}), \] kde \(x_i\in T_i\), (\(T_i\) je oborem náhodné veličiny \(X_i\)) bude představovat rozdělení pravděpodobností náhodné vektorové veličiny (náhodného vektoru) \(X\). Funkci \[ F_X(x_1,\ldots,x_r) = P(\{e:\ X_1(e) \le x_1,\ldots, X_r(e) \le x_r\}), \] kde \(x_i\in\mathbb R\) nazveme distribuční funkcí náhodného vektoru \(X = (X_1,\ldots,X_r)\)